Fortsetzung...

Aristoteles gilt als Vater der formalen Logik. In ihr brachte er 350 v. Chr. die Gesetze des Denkens in die Form regelgerechten Handhabens symbolischer Ausdrücke.

In der Logik entwickelte Aristoteles Regeln für Denkketten, die von bestimmten Voraussetzungen ausgehend, immer zu richtigen Schlüssen führen würden (Gültigkeitsregeln). 

Die Hauptverbindungen im Denkprozeß sind die Syllogismen: Satzpaare, die zusammengenommen zu einem neuen Schluß führen. 

Ein Syllogismus ist ein logischer Schluß, der sich auf Prämissen in einer der vier Formen stützt: 'Alle X sind gleich Y' (allgemein bejahend), 'Alle X sind verschieden von Y' (allgemein verneinend), 'Einige X sind gleich Y' (partikulär bejahend), 'Einige X sind verschieden von Y' (partikulär verneinend). X und Y stehen für allgemeine Substantive, die Begriffe des Syllogismus genannt werden. Ein vollständiger Syllogismus besteht aus zwei Voraussetzungen (Prämissen) und einer Schlußfolgerung (Konklusion), wobei jede Voraussetzung einen Begriff mit der anderen Voraussetzung und einen Begriff mit der Schlußfolgerung gemeinsam hat. In der klassischen Logik sind die Regeln formuliert, anhand derer die vollständigen Syllogismen als gültige oder ungültige Beweisformen klassifiziert werden können.

Zwischen der Gültigkeit einer Beweisführung und der Richtigkeit eines Schlusses muß allerdings unterschieden werden. Wenn eine oder mehrere Voraussetzungen einer Schlußfolgerung falsch sind, kann der Schluß einer in sich formal gültigen Beweisführung falsch sein.

Aus dem Aufbau komplexerer Denksysteme ergibt sich die Wissenschaft. 

In seiner Logik unterscheidet Aristoteles zwischen Dialektik und Analytik. Für ihn werden anhand der Dialektik bloß die Behauptungen auf ihre logische Folgerichtigkeit hin überprüft. Die Analytik geht von Prinzipien aus, die auf Erfahrungen und genauer Beobachtung beruhen. Damit vollzog er einen klaren Bruch mit Platons Akademie, da dort die Dialektik als einzig angemessene Methode, sowohl für die Wissenschaft, wie auch für die Philosophie, angesehen wurde.

300 v. Chr. wurde der Algorithmus von dem Griechen Euklid ersonnen. Er beschrieb in "Elemente" diverse mathematische Verfahren.

Euklid verfaßte das bedeutendste mathematische Buch aller Zeiten: Die „Elemente“. 

Dieses vielfach übersetzte Werk (nach der Bibel das verbreitetste Buch) gilt als das einflußreichste Mathematikbuch aller Zeiten und war für über zwei Jahrtausende die Grundlage der Mathematikausbildung.

Das 13-bändige Werk befaßte sich mit der Geometrie der Ebene (Band I, IV), der Proportionenlehre (Band V, VII), der Zahlentheorie (Band VII, IX) und der Stereometrie (Band XI, XIII):

Euklid legte damit den Grundstein für die axiomatische Mathematik im heutigen Sinn, indem er zuerst Axiome formulierte, aus denen er dann Sätze ableitete. Sein Werk war so bahnbrechend und ausgereift, daß es bis ins vorige Jahrhundert allgemein anerkannte Gültigkeit besaß und als Unterrichtsgrundlage verwendet wurde. Erst um die Jahrhundertwende gelang eine Ergänzung der Arbeiten Euklids und damit die endgültige Axiomatisierung der Geometrie:

Algorithmen sind beschreibbare und Schritt für Schritt nachvollziehbare Verfahren zur Lösung vorgegebener Probleme. Sie bestehen aus mehreren, nacheinander auszuführenden Schritten, die solange nacheinander ausgeführt, bzw. wiederholt durchlaufen werden, bis ein Ergebnis gefunden ist (endliche Lösungsverfahren).

Erst das Werkzeug "Computer" erlaubte, Algorithmen mit Millionen von Schritten auszuführen. Mechanische Rechenmaschinen waren noch keine Computer, denn sie konnten zwar die Algorithmen für die vier Grundrechenarten ausführen, aber eben keine anderen.

Archimedes von Syrakus , 300 v. Chr., galt als größte Mathematiker und Ingenieur der Antike. 

Er wurde vor allem durch seine Beiträge zur Geometrie, zur Hydrostatik (Archimedisches Prinzip) und durch die Konstruktion technischer Geräte (Hebelgesetze) bekannt. 

In der Analysis gilt Archimedes (mit Eudoxos) als Schöpfer der Exhaustionsmethode zur Flächenberechnung ebener Figuren. 

In der Arithmetik dehnt Archimedes die natürlichen Zahlen bis 10⁶³ aus und bemerkt, daß die Folge der natürlichen Zahlen bis ins Unendliche fortgeführt werden könne.

Aus heutiger Sicht ist vor allem seine Beschäftigung mit krummlinig begrenzten Figuren und Körpern (Kreis, Kugel, Zylinder, Parabel, Ellipse, Paraboloid, Ellipsoid, Hyperboloid etc.) bahnbrechend. 

An die Wurzeln der griechischen Mathematik aus Babylonien und Ägypten, erinnert Archimedes ausgeprägter Sinn für die Praxis: Anders als Euklid leitete er seine Erkenntnisse nicht von vorn herein aus den Axiomen ab, sondern gewann sie teilweise aus praktischen mechanischen Beobachtungen. Diese verallgemeinerte er und bewies sie erst danach. Diese Mischung aus Induktion und Deduktion, ist in zahlreichen Bereichen bis heute die gängige Methode der mathematischen Forschung.

Vieles aus seinem Werk führte im 17. Jahrhundert zur Entdeckung der Infinitesimalrechnung. Archimedes wurde während der Plünderung von Syrakus (212 v. Chr.) von einem römischen Soldaten erschlagen.

Die erste mechanische Rechenmaschine war der Abakus (Perlenrechner), welcher bereits in der Antike in China erfunden und verwendet wurde:  

Diophantos von Alexandria veröffentlichte 221 n. Chr. sein mathematisches Hauptwerk: Die "Arithmetica". Es ist der einzige erhaltene Text zur Algebra und Arithmetik aus der griechischen Antike und hatte noch viele Jahrhunderte später einen großen Einfluß auf die Weiterentwicklung der Mathematik. 

Diophantos hatte die hochstehende babylonische Rechenkunst wieder aufgegriffen und weiterentwickelt. Kennzeichnend für ihn war die Einführung von Abkürzungen und Symbolen. Sein Hauptwerk, die "Arithmetica", stellte den Höhepunkt der antiken Algebra dar. Sie beeinflußte die Entfaltung der Arithmetik, Algebra und Zahlentheorie im islamisch-arabischen Bereich ebenso, wie die im katholischen Mittel- und Westeuropa. Die "Arithmetica" erwies sich in beiden Kulturbereichen als wichtiges Kettenglied für das Erreichen eines qualitativ neuen Niveaus in den einzelnen mathematischen Disziplinen und wirkte auch in Arbeiten byzantinischer Gelehrter fort: 

Die "Arithmetica" bestand aus 13 Büchern. Sie behandelten, anhand zahlreicher spezieller Beispiele, die Lösung von "diophantischen Gleichungen"  mit Unbekannten bis zum 6.Grade. Irrationale oder negative Zahlen wurden von Diophantos nicht als Lösungen akzeptiert. Seine Methodik bestand darin, Substitutionen der Unbekannten zu wählen, um das Problem auf bekannte Gleichungen zu reduzieren. 

Der letzte bedeutende Mathematiker des Altertums war Pappos von Alexandria, 320 n. Chr.. Sein Hauptwerk, die "Mathematische Sammlung" ist eine sehr wertvolle Quelle für die Geschichte der Mathematik, denn für einige Ergebnisse früherer griechischer Mathematiker, bei denen die diesbezüglichen Originalabhandlungen verlorengingen, stellen seine Schriften die einzige erhaltene Überlieferung dar. Pappos hatte in diesem Buch alles dokumentiert, was er an den Werken seiner Vorgänger interessant fand. 

Pappos hatte aber auch die Ergebnisse seiner Vorgänger in vielerlei Hinsicht ergänzt und erweitert. So stammt der heute als "Guldinsche Regel" bezeichnete Satz über das Volumen eines Drehkörpers von ihm. Dieser ist das allgemeinste Theorem der Analysis, das im Altertum entdeckt wurde. 

Das Dezimalsystem wurde 500 n. Chr., ebenfalls in Indien, erdacht. Ägypter, Sumerer und Babylonier übernahmen das Zehnersystem für die Darstellung ihrer Zahlen.

Die Vorschriften über das Rechnen mit diesem Zahlensystem, hatte erstmals grundlegend der indische Mathematiker und Astronom Brahmagupta, in einem von ihm 628 n. Chr. (in Versform) verfaßten Lehrbuch der Astronomie und Mathematik, "Brahmasphutasiddhanta", beschrieben. Es wurde von Sindhind, 775 n. Chr., ins Arabische übersetzt und im 12. Jahrhundert als lateinische Übersetzung, durch den englischen Philosophen Adelard von Bath,auch in Europa verbreitet.

Um 700 n. Chr. wurde in Indien die Null eingeführt. Damit ist das Positionsrechnen ermöglicht worden:

Im Laufe der Geschichte wurde die Zahl Null dreimal erfunden: Von den Babyloniern, den Mayas und zuletzt von den Indern. 

Der italienische Mathematiker Leonardo von Pisa ("Fibonacci", 1170 - 1240) lernte die Null auf seinen Reisen nach Afrika und Byzanz kennen und führte sie mit nach Europa ein. 

In Europa tat man sich jedoch schwer mit einer Zahl, die gar keine Zahl ist, sondern das Nichts beziffert, gleichzeitig aber jede vor ihr stehende Zahl verzehnfacht. Es dauerte lange, bis die Rechenlehrer der frühen Neuzeit dem Volk den hohen Wert dieser »wertlosen« Zahl nahebringen konnte.

Mohammed Ibn-Musa Al-Khawarizmi, arabisch-persischer Mathematiker und Astronom, schrieb 820 n.Chr. ein Buch mit dem Titel "Hisab al-jebr wal-muqabala", woraus das heute übliche Wort "Algebra" wurde. 

Leonardo von Pisa ("Fibonacci") verfaßte 1202 den "Liber Abaci", die erste systematische Einführung in das dezimale Zahlenrechnen:

Der entscheidende Durchbruch der indischen Rechenweise, geschah durch das Buch "Liber abbaci" (1202), von Leonardo von Pisa. Es zeigte die Vorteile des dekadischen Stellenwertsystems auf. In immer schnellerem Tempo begannen jetzt die "indischen Rechenverfahren" in das Rechnungswesen der Kaufleute und damit in die Schulstuben einzudringen. 

Sein "Liber abbaci" wurde ein Meilenstein in der Entwicklung der Mathematik des Mittelalters. Er verwendete die arabischen Ziffern einschließlich der Null und führte negative Zahlen (als Schulden) ein.

Die "Practica geometriae" (1220) verbreitete die arabischen Ziffern und die indischen Rechenverfahren in Europa. Die in diesen Büchern behandelten zahlentheoretischen Probleme und Lösungsverfahren, gingen erstmals über die Kenntnisse des arabischen und griechischen Kulturkreises hinaus.

Die formale Logik des Aristoteles beflügelte aber auch alle Sorten von Schwärmern: Zum Beispiel 1400 einen gewissen Raymondus Lullus.

Diese Schwärmer sahen in der aristoteleschen Logik Beschwörungsformeln der Wahrheit. Beschwörungen, die sozusagen maschinell, automatisch, erzeugt werden können. Solch ein logisch-mechanischer Schwärmer war Raymondus Lullus, der im 14. Jahrhundert mit einer formallogischen, mechanischen Vorrichtung, die Ungläubigen in Agadir von der Wahrheit des Christentums überzeugen wollte. Er entwickelte die "ars magna"- die Konzeption einer Denkmaschine, die fähig sein sollte, logische Schlüsse zu ziehen. Durch eine systematische Anordnung der Begriffe wollte er zu einer übersichtlichen Erkenntnis und damit zu einer Beweisführung seiner Glaubenslehre kommen. Er wurde in Agadir gesteinigt. 

Lullus Konstruktion bestand aus mehreren kreisförmigen Scheiben aus Pappe, Holz oder Metall, die auf einer Achse aufgebracht waren. Jede einzelne Scheibe enthielt mehrere Wörter oder Symbole, die durch Drehen der Scheiben zu Sätzen zusammengesetzt werden konnten. Mit Hilfe dieser Scheiben wollte Lullus zeigen, daß alles was in der Bibel zu finden ist, der Wahrheit entspricht. Die Scheiben enthielten jede bis zu sechzehn verschiedene Wörter und sein Meisterstück, die "figura universalis", bestand aus vierzehn Scheiben (das machte 72 Billiarden mögliche Sätze!).

Der kühne Gedanke, daß es möglich sein könnte, Maschinen mit geistigen Fähigkeiten zu entwickeln, war in die Welt gesetzt worden.

Raymundus Lullus lieferte mit seinen Schemata den Grundstein für viele nachfolgende kreative Systematika: Giordano Bruno, dessen kosmologische Vision ein Universum mit unendlich vielen Welten mit sich bringt, kann mit Hilfe der lullschen Systematik seine eigene, nahezu uferlos wirkende Kombinatorik, einfangen. So schlägt Bruno beispielsweise in seinem Werk "De umbris idearum" (Von den Schatten der Ideen) mehrere bewegliche konzentrische Räder vor, wobei jedes Rad 30 Buchstaben aufweist, die wiederum auf Bilder, Handlungen und Situatiuonen verweisen.

Einer letzten aristotelischen Maschine begegnet man in Umberto Eco's Roman von "L'Isola del Giorno Prima".

1494 entwirft Leonardo da Vinci einige mechanische Rechenmaschinen, deren Originalaufbau aber nicht mehr erhalten ist: 

Erste Rechenbücher erschienen nach Erfindung des Buchdrucks. Darunter auch das Buch "Behende vnd hubsche Rechnung auff allen kauffmannschaft" des Leipziger Universitätsdozenten Widmann von Eger, das im Jahre 1489 herausgegeben wurde.

Im Jahre 1482 war Eger in Leipzig Bakkalaureus. 1486 führte er den Titel Magister Artium. Er war wahrscheinlich der erste Dozent, der an der Leipziger Universität Algebra gelehrt hat.

Sein Buch "Behende vnd hubsche Rechnung auff allen kauffmannschaft" beinhaltet thematisch drei Teile: Rechnen mit ganzen Zahlen und Brüchen; Proportionslehre; Geometrie. 

Es war das erste bedeutende deutsche Buch über das kaufmännische Rechnungswesen. Darin verwendete Eger erstmals die modernen Zeichen "+" und "-" in gedruckter Form. Eger erklärt unzweideutig: "was - ist das ist minus vnd das + das ist mer".

Weitere Ausgaben des Buches sind aus den Jahren 1508 (Pforzheim), 1519 (Hagenau) und 1526 (Augsburg) bekannt. Das zeigt die weite Verbreitung, dieses Buch erfahren hat. 

Daneben war Eger wahrscheinlich der Autor einer Schrift namens "Algorithmus Linealis", die1489 in Leipzig gedruckt wurde. In diesem Buch findet sich die älteste gedruckte Anweisung für das Rechnen mit Hilfe eines Rechenbretts (Abakus). 

Eger's besonderer Verdienst bestand darin, als einer der Ersten, praktisch anwendbares, mathematisches Wissen mit Hilfe des Buchdrucks einem weiten Leserkreis zugänglich gemacht zu haben. 

Erst um 1500 brachten die Araber das Zehnersystem (Dezimalsystem), wie wir es heute verwenden, nach Europa. 

Von Europa aus, verbreitete es sich dann mit den Entdeckern und Eroberern über die ganze Welt. Das Zehnersystem ist die Grundvoraussetzung für die heutige Rechentechnik.

Adam Ries veröffentlicht 1524 ein Rechenbuch, in dem er die Rechengesetze des Dezimalsystems beschreibt:

Schon damals gab es die Streitfrage: Wer ist der schnellste Rechner- "Abacist" oder "Algorist"? Der "Algorist" hat übrigens gewonnen:

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